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中考數學壓軸題的四種常見解題思路
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中考數學壓軸題的四種常見解題思路
1.求解中考壓軸題的常見思想方法
2.1分類討論思想
代表性題型：動態幾何問題，存在性討論問題。
例1.(2009年重慶)已知：如圖，在平面直角坐標系
中，矩形OABC的邊OA在
軸的正半軸上，OC在
軸的正半軸上，OA=2，OC=3。過原點O作∠AOC的平分線交AB于點D，連接DC，過點D作DE⊥DC，交OA于點E。
(1)求過點E、D、C的拋物線的解析式;
(2)將∠EDC繞點D按順時針方向旋轉后，角的一邊與
軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G。如果DF與(1)中的拋物線交于另一點M，點M的橫坐標為
，那么EF=2GO是否成立?若成立，請給予證明;若不成立，請說明理由;
(3)對于(2)中的點G，在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構成的△PCG是等腰三角形?若存在，請求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由。
解析：(1)由△ADE∽△BCD，及已知條件求得E、D、C坐標，進而求出過點E、D、C的拋物線的解析式：
(2)EF=2GO成立.
點M在該拋物線上，且它的橫坐標為
， ∴點M的縱坐標為
.設DM的解析式為
將點D、M的坐標分別代入，得
解得
∴DM的解析式為
∴F(0，3) EF=2
過點D作DK⊥OC于點K，則DA=DK.
△DAF≌△DKG，KG=AF=1，GO=1 ∴EF=2GO
(3)
點P在AB上，G(1，0)，C(3，0)，則設P(t，2). ∴PG
=(t-1)
+2
，PC
=(3-t)
+2
，GC=2
①若PG=PC，則(t-1)
+2
=(3-t)
+2
解得t=2.∴P(2，2)，此時點Q與點P重合.Q(2，2)
②若PG=GC，則(t-1)
+2
=2
，解得t=1，P(1，2)
此時GP⊥x軸.
GP與該拋物線在第一象限內的交點Q的橫坐標為1，
∴點Q的縱坐標為
.Q(1，
) ③若PC=GC，則(3-t)
+2
=2
，解得t=3，∴P(3，2)
此時PC=GC=2，P與D重合
過點Q作QH⊥x軸于點H，
則QH=GH，設QH=h，∴Q(h+1，h)
. 解得
(舍去).∴Q(
，
) 綜上所述，存在三個滿足條件的點Q，即Q(2，2)或Q(1，
)或Q(
，
)
思想方法解讀：這道壓軸題是將二次函數與平面幾何相結合的函數綜合題。
第⑴問結合“形”的特征，求出點D、E、C的坐標，再設二次函數一般式，用待定系數法可求得二次函數解析式。體現了解函數問題時常用到的“數形結合”思想。
第⑵由D、M所在直線與y軸相交哦于F，可求得F點坐標，并求出EF的長度，并由旋轉過程中的角度相等關系，設法構造全等求出OG。得證結論。解決第⑵問的關系是將EF、OG轉化為可求的已知量，得到其長度關系。體現出數學解題中的“轉化思想”。
本題的第⑶問討論存在性問題。要使△PCG是等腰三角形，其中G、C為定點，P為不確定的點，因此應考慮GC為腰、GC為底，并考慮G、C、P分別為頂點等多種情況進行分類討論。假設存在P點，結合P點的位置，通過設置P點坐標參數，用所設參數表示出相應三角形邊長，由等腰三角形的性質，構造相應方程，可求出P點坐標。第⑶問不僅體現了分類討論思想，還考察了用方程建模的能力。
2.2轉化思想
代表性題型：面積問題，二函數圖象與坐標軸的交點距離、二次函數與一次函數交點距離、反比例函數與一次函數交點距離問題(與一元二次方程根的系數關系轉化)。
例2.已知：Rt△ABC的斜邊長為5，斜邊上的高為2，將這個直角三角形放置在平面直角坐標系中，使其斜邊AB與x軸重合(其中OA
(1)求線段OA、OB的長和經過點A、B、C的拋物線的關系式。(4分)
(2)如圖2，點D的坐標為(2，0)，點P(m，n)是該拋物線上的一個動點(其中m>0，n>0)，連接DP交BC于點E。
①當△BDE是等腰三角形時，直接寫出此時點E的坐標。(3分)
②又連接CD、CP(如圖3)，△CDP是否有最大面積?若有，求出△CDP的最大面積和此時點P的坐標;若沒有，請說明理由。(3分)
解析：⑴由Rt△AOC∽Rt△COB易知，CO2=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4
∴A(-1,0) B(4,0) C(0,2) 可設解析式為y=a(x+1)(x-4)，
將點C(0,2)代入，可求a=
∴
為所求 ⑵
;
提示：①ED=EB時，過E作BD垂線，可得
②直線BC的解析式為
，設
，利用勾股定理和點
在直線BC上，可得兩個方程組
分別可求
和
。
⑶方法1：連OP。如圖4。
P(m，n)在拋物線
上 ∴P(m，
)
S△CPO=S四邊形ODPC-S△OCD
=S△POC+ S△PDO-S△OCD=
OC·|xp|+
OD·|yp|—
OC·OD =
×2m+
×2(
)-
×2×2 =-
m
+
m=-
(m-
)
+
當m=
時，S△CPO面積最大，此時P(
，
)
方法2：過D作X軸的垂線，交PC于M，如圖5。
易求PC的解析式為
，且
，故
∴當
時，
，
思想方法解讀：本題是一道二次函數與平面幾何綜合的壓軸題
第⑴問由三角形形似(或射影定理)求出相關線段的長，寫出相應點的坐標。然后靈活設置二次函數式，用待定系數法求出二次函數式。
第⑵問，雖然題目要求是直接寫出點E的坐標。但點E的坐標必須通過計算得到。而在計算的過程中，要考慮符合要求的等腰三角形的多樣性，需分類討論頂點、腰的對應情況。
第⑶問是本題的難點。題中的面積表示，要結合P(m，n)在拋物線上，充分利用點的坐標的幾何意義，或是利用平面幾何的性質，有效表示△BCD的面積，將不能直接表示的三角形面積轉化為能用已知線段和P點坐標表示的面積。方法1是將四邊形分割成兩個三角形△POC、△POD，方法2，是通過過D點作垂線，直接將△BDC轉化為△PDM、△CDM。
2.3極端值思想
代表性題型：動態幾何問題，動態函數問題。
例3.已知
為線段
上的動點，點
在射線
上，且滿足
(如圖1所示). (1)當
，且點
與點
重合時(如圖2所示)，求線段
的長; (2)在圖1中，聯結
.當
，且點
在線段
上時，設點
之間的距離為
，
，其中
表示
的面積，
表示
的面積，求
關于
的函數解析式，并寫出函數定義域;
(3)當
，且點
在線段
的延長線上時(如圖3所示)，求
的大小。解析：(1)AD=2，且Q點與B點重合。由
=1，∴PB(Q)=PC，△PQC為等腰直角三角形，BC=3，PC=Bccos45°=3×
=
。
(2)如圖：作PE⊥BC，PF⊥AQ。BQ=x，則AQ=2-x。
由△BPF∽△BDP，
=
=
，又BF=PE ∴
=
，∴PF=
PE S△APQ=
(2-x)PF，S△PBC=
×3PE ∴y=
(2-x)
P點與D點重合時，此時CQ取最大值。過D作DH⊥BC。
CD=
，此時
=
，
=
，PQ=
，BQ=AB-AQ=
∴函數的定義域：0≤x≤
(3)方法1：PQ/PC=AD/AB,假設PQ不垂直PC，則可以作一條直線PQ′垂直于PC，與AB交于Q′點，則：B，Q′，P，C四點共圓。
由圓周角定理，以及相似三角形的性質得：PQ′/PC=AD/AB,
又由于PQ/PC=AD/AB 所以，點Q′與點Q重合，所以角∠QPC=90°
方法2：如圖3，作PM⊥BC，PN⊥AB。由
=
=
，即
==
∴△PNQ∽△PMC ∠MPC=∠NPN，∴∠QPC=∠MPC+∠QPB=∠NPQ+∠QPM=90°
思想方法解讀：這是一道動態幾何的變式綜合題。
第⑴問，線段的'比值
不變，Q在特殊點(與B點重合)，由AD=AB=2，故PQ(B)=PC，△PQC為等腰直角三角形。利用幾何性質可求出PC。
第⑵問中利用三角形相似比，結合已知條件中的固定線段比，找出△PAQ、△PBC高之間的比例關系，是求函數式的關鍵。而第二問中寫出函數的定義域則是難點。需分析出P點運動的極端情況，當P與D重合時，BQ取得最大值。集合圖形的幾何性質及已知條件中的固定線段比，求出此時BQ的長度，既為BQ的最大值。體現極端值思想。
⑶中可以用四點共圓通過歸一法求證，也可以通過構造相似形求證。
2.4數形結合思想(用好幾何性質)
代表性題型：函數與幾何綜合題。
例4.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=a(x+1)
+c(a>0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，其頂點為M,若直線MC的函數表達式為
,與x軸的交點為N，且COS∠BCO=
。
⑴求次拋物線的函數表達式。
(2)在此拋物線上是否存在異于點C的點P，使以N、P、C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形?若存在，求出點P的坐標：若不存在，請說明理由;
(3)過點A作x軸的垂線，交直線MC于點Q.若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少個單位長度?向下最多可平移多少個單位長度?
解析：⑴由直線y=kx-3與y軸交點坐標為C(0，-3)
拋物線y=a(x+1)
+c(a>0)開口向上，過C(0，-3)
∴A、B在y軸兩側，B在y軸右側。如圖。
Rt△AOC中，OC=3，cos∠BCO=
∴BC=
，OB=1 ∴B(1，0) 又B(1，0)，C(0，-3)在y=a(x+1)
+c上 ∴拋物線解析式y=x
+2x-3
⑵由⑴拋物線頂點M(-1，-4)，直線y=kx-3過M，∴直線解析式y=x-3
∴N(3，0) ∴△NOC為等腰直角三角形
假設拋物線上存在點P使△NPC為以NC為一條直角邊的直角三角形。
①PC為另一條直角邊。PC⊥CN，而A與N關于y軸對稱在拋物線上。
∴存在P1(-3，0)使△NPC為以NC為一條直角邊的直角三角形
②PN為另一條直角邊。PN⊥CN，則∠PNO=45°設PN交y軸于點D，則D(0，3)
PN所在直線y=-x+3
由
解得
∴存在P2(
，
)，P3(
，
)使△NPC為以NC為一條直角邊的直角三角形。滿足條件的點有P1(-3，0)，P2(
，
)，P3(
，
)
⑶①若拋物線沿對稱軸向上平移。設向上平移b個單位(b>0)。
此時拋物線的解析式為：y=x
+2x-3+b 拋物線與線段NQ總有交點，即由拋物線解析式、直線MC所在直線解析式組成的方程組有解。由
消除y得x
∴向上最多可平移
個單位 ②若向下平移b個單位(b>0)，設y=x
+2x-3-b
由y=-x+3，可求得Q(-3，-6)，N(3，0)
對于拋物線y=x
+2x-3-b
當x=-3，y=-b，拋物線與直線y=-x+3有交點，則需-b≥-6，b≤6
當x=3時，y=12-b，拋物線與直線y=-x+3有交點，則12-b≥0，b≤12。
∴向下最多可平移12個單位。
思想方法解讀：本題還是一道二次函數與平面幾何綜合的壓軸題。
第⑴問中，由直線解析式求出C點坐標，由C點坐標結合a>0，判定拋物線與x軸交點的大致位置。并結合cos∠BCO=
，求出B點坐標，在根據待定系數法求出拋物線的解析式。
第⑵問，以NC為直角邊的直角三角形，應分C、N分別為直角頂點分類討論。結合相應點的坐標及垂直條件，利用45°角的幾何性質，分析得到A點滿足條件，并求出PN⊥NC時，PN所在直線的解析式，是解題的關鍵。
第⑶問是本題的難點。分拋物線向上、向下平移兩種討論。向上平移時，需拋物線與直線NQ有交點，由判別式可確定平移b的范圍;向下平移時，線段NQ是否與拋物線相交，關鍵是兩個端點N、Q是否在拋物線外側。只要取兩個端點剛好在拋物線上的特殊情況，進行分別判斷，求出滿足條件的b的范圍即可，體現出用極端值解題的思想。
由以上的試題可看出，在中考壓軸題中所體現出的數學思想方法并不是單一的，一般每道中考壓軸題均綜合體現了兩到三種不同的數學思想方法。我們在求解壓軸題時，一定要結合題型特征，注意一些常見的數學思想方法的靈活運用。
2.中考數學壓軸題概述
1.1壓軸題的概念
中考數學試卷中的試題排列順序通常都遵循著“從簡單到復雜、從易到難”的原則。中考試題中按題型分類的排列順序一般是：一、選擇題(客觀題，有些地方將其稱作“第Ⅰ卷”);二、填空題(形式簡單的主觀題);三、解答題(二、三也合稱第Ⅱ卷)。在這三類題型中，思維難度較大的題目一般都設置在各類題型的最后一題，被稱作壓軸題。
中考壓軸題按其題型的區別及在整個試卷中的位置情況又可分為兩類：選擇題和填空題型的壓軸題，常被稱作小壓軸題;解答題型壓軸題(也即整個試卷的最后一題)，叫大壓軸題，通常所說的壓軸題一般都指大壓軸題。
1.2壓軸題的特點
中考數學壓軸題的設計，大都有以下共同特點：知識點多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關系復雜、思路難覓、解法靈活。縱觀近幾年全國各地數學中考壓軸題，呈現了百花齊放的局面，就題型而言，除傳統的函數綜合題外，還有操作題、開放題、圖表信息題、動態幾何題、新定義題型、探索題型等，令人賞心悅目。
中考壓軸題主要是為考察考生綜合運用知識的能力而設計的題目，其思維難度高，綜合性強，往往都具有較強的選拔功能，是為了有效地區分數學學科中尖子學生與一般學生的試題。
在課程改革不斷向前推進的形勢下，全國各地近年涌現出了大量的精彩的壓軸題。豐富的、公平的背景、精巧優美的結構，綜合體現出多種解答數學問題的思想方法，貼近生活、關注熱點、常中見拙、拙中藏巧、一題多問、層層遞進，為不同層次的學生展示自己的才華創設了平臺。
1.3壓軸題應對策略
針對近年全國各地中考數學壓軸題的特點，在中考復習階段，我們要狠抓基礎知識的落實，因為基礎知識是“不變量”，而所謂的考試“熱點”只是與題目的形式有關。要有效地解答中考壓軸題，關鍵是要以不變應萬變。加大綜合題的訓練力度，加強解題方法的訓練，加強數學思想方法的滲透，注重“基本模式”的積累與變化，調適學生心理，增強學生信心。
學生在壓軸題上的困難可能來自多方面的原因，如：基礎知識和基本技能的欠缺、解題經驗的缺失或訓練程度不夠、自信心不足等。學生在壓軸題上的具體困難則可能是：“不知從何處下手，不知向何方前進”。
在求解中考數學壓軸題時，重視一些數學思想方法的靈活應用，是解好壓軸題的重要工具，也是保證壓軸題能求解得“對而全、全而美”的重要前提。本文就2009年全國各地部分中考壓軸題為例，簡要分析一些重要的數學思想方法在求解中考壓軸題時的重要作用。
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