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平行四邊形教案

時間：2024-07-20 13:45:03 教案我要投稿

平行四邊形教案范文匯編9篇

　　作為一名教師，時常需要編寫教案，通過教案準備可以更好地根據具體情況對教學進程做適當的必要的調整。那么優秀的教案是什么樣的呢？以下是小編整理的平行四邊形教案9篇，歡迎閱讀與收藏。

平行四邊形教案范文匯編9篇

平行四邊形教案篇1

　　學習目標：

　　1．能運用綜合法證明正方形性質定理。

　　2．體會證明過程中所運用的歸納概括以及轉化等數學思想方法

　　課前熱身：

　　矩形、菱形有哪些性質和判別方法？

　　正方形有哪些性質？你能證明嗎？

　　自主學習

　　1.證明有一個角是直角的菱形是正方形

　　2.證明對角線相等的菱形是正方形

　　4.議一議

　　①依次連接菱形或矩形四邊的中點能得到一個什么圖形？先猜一猜，再證明。

　　②依次連接特殊平行四邊形四邊中點呢？

　　課堂小結

　　1、順次連接任意四邊形各邊的中點得到的四邊形是

　　2、順次連接矩形各邊的中點得到的四邊形是

　　3、順次連接菱形各邊的中點得到的四邊形是

　　4、順次連接正方形各邊的中點得到的`四邊形是

　　反饋檢測：

　　1.正方形的邊長為，則它的對角線長，若正方形的對角線長為，它的邊長為。

　　2.邊長為的正方形，在一個角剪掉一個邊長為的正方形，則所剩余圖形的周長為。

　　3.已知：如圖 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為∠ACB的平分線，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F。

　　求證：四邊形CEDF是正方形。

　　布置作業：

　　A組：習題 4、2 創新設計 B 組習題4.、2 C 組背定義

平行四邊形教案篇2

　　【當堂檢測】

　　1．（20xx 年永州市）．下列命題是假命題的是（）

　　A．兩點之間，線段最短; B．過不在同一直線上的三點有且只有一個圓．

　　C．一組對應邊相等的兩個等邊三角形全等; D．對角線相等的四邊形是矩形．

　　2．如圖，一個四邊形花壇，被兩條線段分成四個部分，分別種上紅、黃、紫、白四種花卉，種植面積依次是，若，，則有（）

　　A． B． C． D．都不對

　　3．（20xx襄樊）如圖，在平行四邊形中, 于E 且是一元二次方程的.根，則平行四邊形的周長為（）

　　A． B． C． D．

　　4．（20xx年南寧市）如圖（1），在邊長為5的正方形中，點、分別是、邊上的點，且， .

　　（1）求 ∶ 的值；

　　（2）延長交正方形外角平分線，如圖2試判斷的大小關系，并說明理由；

　　（3）在圖（2）的邊上是否存在一點，使得四邊形是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

平行四邊形教案篇3

　　教學內容：

　　義務教育六年制小學《數學》第九冊P64-P66

　　教學目的：

　　1、讓學生知道平行四邊形面積公式的推導過程，掌握平行四邊形面積的計算公式，并能應用公式正確地計算平行四邊形面積，數學教案－平行四邊形面積計算。

　　2、通過操作、觀察與比較，發展學生的空間觀念，培養學生運用轉化的思考方法解決問題的能力。

　　3、使學生初步感受到事物是相互聯系的，在一定條件下可以相互轉化。

　　4、培養學生自主學習的能力。

　　教學重點：

　　掌握平行四邊形面積公式。

　　教學難點：

　　平行四邊形面積公式的推導過程。

　　教具、學具準備：

　　1、多媒體計算機及課件；

　　2、投影儀；

　　3、硬紙板做成的可拉動的長方形框架；

　　4、每個學生5張平行四邊形硬紙片及剪刀一把。

　　教學過程：

　　一、復習導入：

　　1、我們認識的平面幾何圖形有哪些呢？（微機出示，圖形略）

　　2、在這幾個圖形中你們會求哪幾個的面積呢？（微機出示長方形和正方形的面積公式）

　　3、大家想不想知道其他幾個圖形的面積怎么求呢？我們這個單元就來學習“多邊形面積的計算”。

　　二、質疑引新：

　　1、老師知道同學們都很喜歡流氓兔，今天流氓兔遇到了一個難題，我們一起來幫它解決好不好？

　　2、微機顯示動畫故事：有一天，流氓兔在跑步的時候，遇到了一個長方形框架，它不小心踹了一腳，把長方形變成了平行四邊形，流氓兔很奇怪：形狀改變了，面積改變了嗎？

　　3、演示教具：將硬紙板做成的長方形框架，拉動其一角，變為平行四邊形。

　　4、解決這個問題最好的辦法就是將兩個圖形的面積都求出來進行比較，長方形的面積我們會求了，平行四邊形的面積要怎么求呢？這節可我們就一起來學習平行四邊形面積的計算。（板書課題：平行四邊形面積的計算）

　　三、引導探求：

　　（一）、復習鋪墊：

　　1、什么圖形是平行四邊形呢？

　　2、拿出一個準備好的平行四邊形，找找它的.底和高，并把高畫下來，比比看誰畫得多。

　　3、微機顯示并小結：平行四邊形可以作無數條高，以不同的邊為底對應的高是不同的。

　　（二）、推導公式：

　　1、小小魔術師：我們現在來做一個變一變的小游戲（微機顯示一個不規則圖形），我們可以直接用所學過的求面積公式來求它的面積嗎？

　　2、能不能把它轉化成我們學過的圖形呢？（用割補法轉化為長方形）

　　3、能不能用同樣的方法把一個平行四邊形轉化成長方形呢？請同學們拿出準備好的多個平行四邊形紙片及剪刀，自己動手，運用所學過的割補法將平行四邊形轉化為長方形。

　　4、學生實驗操作，教師巡視指導。

　　5、學生交流實驗情況：

　　⑴、誰愿意把你的轉化方法說給大家聽呢？請上臺來交流！（用投影儀演示剪拼過程）

　　⑵、有沒有不同的剪拼方法？（繼續請同學演示）。

　　⑶、微機演示各種轉化方法。

　　6、歸納總結規律：

　　沿著平行四邊形的任意一條高剪開，都可以通過平移把平行四邊形拼合成一個長方形。并引導學生形成以下概念：

　　⑴、平行四邊形剪拼成長方形后，什么變了？什么沒變？

　　⑵、剪拼成的長方形的長與寬分別與平行四邊形的底和高有什么關系？

　　⑶、剪樣成的圖形面積怎樣計算？得出：

　　因為：平行四邊形的面積=長方形的面積=長×寬=底×高

　　所以：平行四邊形的面積=底×高

　　（板書平行四邊形面積推導過程）

　　7、文字公式不方便，我們一起來學習用字母公式表示，如果用S表示平行四邊形的面積，用a表示平行四邊形的底，用h表示平行四邊形的高，那么S=a×h（板書）。同時強調：在含有字母的式子中，字母和字母之間的乘號可以記作"."，也可以省略不寫，所以平行四邊形的面積公式還可以記作S=a.h或S=ah（板書）。

　　8、讓學生閉上眼睛，在輕柔的音樂中回憶平行四邊形面積計算的推導過程。

　　四、鞏固練習：

　　1、剛才我們已經推導出了平行四邊形的面積公式，那么，要求平行四邊形的面積，必須要知道哪幾個條件？（底和高，強調高是底邊上的高）

　　2、練習：

　　⑴、（微機顯示例一）求平行四邊形的面積

　　⑵、判斷題（微機顯示，強調高是底邊上的高）

　　⑶、比較等底等高的平行四邊形面積的大小（用求面積的公式計算、比較，得出結論：等底等高的平行四邊形面積相等）

　　⑷、思考題：用求面積的公式解決流氓兔的難題（微機演示，得出結論：原長方形與改變后的平行四邊形比較，長方形的長等于平行四邊形的底，長方形的寬不等于平行四邊形的高，所以二者的面積不相等）。

　　五、問答總結：

　　1、通過這節課的學習，你學到了哪些知識？

　　2、平行四邊形面積的計算公式是什么？

　　3、平行四邊形面積公式是如何推導得出的？

　　六、課后作業：P67 1、2、3、5 《指導叢書》練習十六 1

平行四邊形教案篇4

　　目標：

　　1.在理解的基礎上掌握平行四邊形的面積計算公式，能正確地計算平行四邊形的面積。

　　2、通過操作、觀察、比較等實踐活動，經歷主動探索面積計算公式的過程，培養分析問題、解決問題的能力。

　　3、滲透轉化的數學思想，激發探索的興趣，增強數學應用意識，提高解決實際問題的能力。

　　教學重點：理解并掌握平行四邊形面積的計算公式，會利用公式正確計算平行四邊形的面積。

　　教學難點：理解平行四邊形面積公式的推倒過程，會利用公式正確計算平行四邊形的面積。

　　教學準備：多媒體、平行四邊形紙片. 剪刀、三角尺

　　一、創設情境

　　同學們，你們喜歡聽故事嗎？（喜歡）。今天老師說的故事發生在動物村。這是小熊家，它的菜地是這塊；這是小兔家，它的菜地是這塊。它們覺得這樣跑來跑去干活很不方便，于是，小熊就說：“我們倆換塊菜地怎么樣”？小兔說：“好啊，可我不知道這兩塊地的面積是否相等？”同學們，你們能幫小兔解決這個問題嗎？

　　師：你們準備怎樣解決呢？

　　生：分別算出長方形和平行四邊形的面積就行了。

　　師：誰來說怎樣計算長方形的面積？

　　生：長方形的面積等于長乘寬。

　　師：怎樣列式？（10×6＝60平方米）

　　師：求長方形的面積有公式很方便，那你會算平行四邊形的面積嗎？

　　生：-------

　　師：那么今天我們就來研究怎樣求平行四邊形的面積.(板書課題：平行四邊形的面積)

　　二、探究新知

　　１、學生嘗試解決，

　　師：同學們，仔細觀察這塊平行四邊形的菜地，你能想辦法把它的面積算出來嗎？老師相信你們一定行。

　　學生活動，獨立嘗試解決。

　　教師巡視，

　　２、反饋學生嘗試計算結果。

　　師：同學們有結果了嗎？

　　學生匯報結果。

　　師：求一個圖形的面積出現了這么多的結果，可能嗎？（不可能）

　　到底哪個結果正確呢？讓我們一起來驗證一下。請同學們拿出平行四邊形紙，通過剪、拼的方法把這個平行四邊形轉化成我們已學過的圖形。老師有一個小小的提示：應該沿哪里剪才能把它拼成我們已學過的圖形。同桌合作。

　　3、學生匯報驗證過程。

　　師：請你上臺把這過程演示一遍。

　　學生演示。

　　師：我想問一下，你這一剪是隨便剪的嗎？

　　生：不是，是沿高剪的。

　　師：哦，這位同學是這樣剪的。

　　師：不錯，誰還有不同的剪法？

　　學生匯報。

　　師：大家聽明白了嗎？這兩個同學都是沿著平行四邊形的一條高剪開，將平行四邊形轉化成一個長方形。看來，沿著平行四邊形的任意一條高剪開，都可以通過平移把平行四邊形轉化成一個長方形。

　　師：現在，我請一位同學用老師的教具把平行四邊形轉化的過程再演示一遍。誰來上臺演示？

　　師：大家邊看邊想：轉化后的長方形和原來的平行四邊形比，什么變了？什么不變？

　　生：形狀變了，面積沒有變。

　　師：面積沒有變，也就是――（轉化后長方形的面積與原來的平行四邊形的面積相等。）

　　師：非常正確！

　　師：謝謝你開了個好頭。接下來，請小組討論：轉化后，長方形的長和寬分別與原來的平行四邊形的底和高有什么關系？

　　師演示教具。

　　生：轉化后的長方形，長與原來的平行四邊形的底相等，寬與原來平行四邊形的高相等。

　　師：說得真好。那現在平行四邊形的面積你們會算了嗎？

　　生：平行四邊形的面積等于底乘高。

　　師：不錯。如果用S表示平行四邊形的面積，用a 表示底，用h表示高，平行四邊形的面積公式用字母怎樣表示呢？

　　學生說完，師完成板書：長方形的面積＝長×寬

　　平行四邊形的面積＝底×高

　　用字母表示：S＝a×h=ah

　　師：同學們真不簡單，經過努力你們終于發現并驗證了平行四邊形面積計算公式，老師為你們感到驕傲

　　請同學們打開數學書81頁，把平行四邊形的面積公式補充完整。這個面積公式適用于所有的平行四邊形。

　　師：剛才這三位同學都表現得很好。接下來，我再請一位同學來說說平行四邊形的面積是怎樣推導出來的，（出示課件）你會填嗎？

　　4、解決問題

　　師：通過同學們的努力，我們已經推導出了平行四邊形面積的計算公式，我們再來看看原來同學們寫的這幾個結果哪一個才是正確的？那現在你們能為小熊、小兔倆解決問題了嗎？

　　生：能，小熊和小兔的菜地可以交換，因為這兩塊地的面積一樣大。

　　師：謝謝你們為小熊和小兔解決了交換菜地的問題。

　　師：解決了小熊和小兔的問題，接下來老師要同學們算一算我們學校花壇的面積。

　　出示例１平行四邊形花壇的.底是6m，高是4m，它的面積是多少?

　　學生嘗試練習，生上臺板演。

　　師：通過這道題，請大家想一想，要求平行四邊形的面積，我們必須知道哪些條件？

　　生：底和高。

　　師：不錯，需要知道兩個條件，就是底和高。只要知道它的一組底和高就能求面積了。

　　三、鞏固練習

　　1、計算下列圖形的面積。

　　師：誰來說第1個圖形的面積怎么求？第2個圖形呢？剛才這兩個圖形的面積真是太容易算了，我們來一個稍為難點的圖形，這個圖形有點不一樣。同學們有沒有信心算出它的面積？（有）請同學們寫到課堂作業上。

　　生上臺板演。

　　師：同學們，算完了嗎？我們來看看這位同學做對了沒有？

　　師：今后我們在求平行四邊形的面積時，要看清楚它的底和高一定要相對應。不能張冠李戴。

　　師：同學們，如果我給出底是12厘米相對應的高，你們還能用另外一種方法算出它的面積嗎？（能）誰來說？

　　2、課本82頁第2題。

　　師：接下來，請同學們做課本82頁的第2題。你能想辦法求出它的面積嗎？你打算怎么做？女生算第1個圖形，男生算第2個圖形。我們比一比

　　學生上臺展示。，

　　3、考考你。

　　師：比完了，接下來老師又要出題目考你們了。

　　4、小小設計師。

　　師：同學們，想不想當設計師。如果讓你設計一個黑板報欄目，要求面積是24平方分米，那么底和高各是多少分米？（底和高都是整數）

　　四、小結

　　師：今天這節課的知識你們是怎樣學會的呢？

　　師：今天同學們學得很好。好在哪里呢？同學們不是等待，而是動腦筋，想辦法。敢于把新問題轉化成已有的知識來解決。

平行四邊形教案篇5

　　一、學習目標

　　１、經歷探索多項式與多項式相乘的運算法則的過程，發展有條理的思考及語言表達能力。

　　2、會進行簡單的多項式與多項式的乘法運算

　　二、學習過程

　　（一）自學導航

　　1、創設情境

　　某地區在退耕還林期間，將一塊長m米、寬a米的長方形林區的長、寬分別增加n米和b米，用兩種方法表示這塊林區現在的面積。

　　這塊林區現在的長為米，寬為米。因而面積為________米2。

　　還可以把這塊林地分為四小塊，它們的面積分別為米2，米2，_______米2，米2。故這塊地的面積為。

　　由于這兩個算式表示的都是同一塊地的面積，則有 =

　　如果把（m+n）看作一個整體，你還能用別的方法得到這個等式嗎？

　　2、概括：

　　多項式乘以多項式的法則：

　　3、計算

　　（1）（2）

　　4、練一練

　　（1）

　　（二）合作攻關

　　1、某酒店的廚房進行改造，在廚房的中間設計一個準備臺，要求四面的過道寬都為x米，已知廚房的長寬分別為8米和5米，用代數式表示該廚房過道的總面積。

　　2、解方程

　　（三）達標訓練

　　1、填空題：

　　（1） = =

　　（2） = 。

　　2、計算

　　（1）（2）

　　（3） (4)

　　（四）提升

　　1、怎樣進行多項式與多項式的乘法運算？

　　2、若的乘積中不含和項，則a= b=

　　應用題

　　第三十五講應用題

　　在本講中將介紹各類應用題的解法與技巧．

　　當今數學已經滲入到整個社會的各個領域，因此，應用數學去觀察、分析日常生活現象，去解決日常生活問題，成為各類數學競賽的一個熱點．

　　應用性問題能引導學生關心生活、關心社會，使學生充分到數學與自然和人類社會的密切聯系，增強對數學的理解和應用數學的信心．

　　解答應用性問題，關鍵是要學會運用數學知識去觀察、分析、概括所給的實際問題，揭示其數學本質，將其轉化為數學模型．其求解程序如下：

　　在初中范圍內常見的數學模型有：數式模型、方程模型、不等式模型、函數模型、平面幾何模型、圖表模型等．

　　例題求解

　　一、用數式模型解決應用題

　　數與式是最基本的數學語言，由于它能夠有效、簡捷、準確地揭示數學的本質，富有通用性和啟發性，因而成為描述和表達數學問題的重要方法．

　　【例1】(20xx年安徽中考題)某風景區對5個旅游景點的門票價格進行了調整，據統計，調價前后各景點的游客人數基本不變。有關數據如下表所示：

　　景點ABCDE

　　原價（元）1010152025

　　現價（元）55152530

　　平均日人數（千人）11232

　　（1）該風景區稱調整前后這5個景點門票的平均收費不變，平均日總收入持平。問風景區是怎樣計算的？

　　（2）另一方面，游客認為調整收費后風景區的平均日總收入相對于調價前，實際上增加了約9.4%。問游客是怎樣計算的？

　　（3）你認為風景區和游客哪一個的說法較能反映整體實際？

　　思路點撥（1）風景區是這樣計算的：

　　調整前的平均價格：，設整后的平均價格：

　　∵調整前后的平均價格不變，平均日人數不變．

　　∴平均日總收入持平．

　　（ 2）游客是這樣計算的：

　　原平均日總收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）

　　現平均日總收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）

　　∴平均日總收入增加了

　　（3）游客的說法較能反映整體實際．

　　二、用方程模型解應用題

　　研究和解決生產實際和現實生恬中有關問題常常要用到方程<組)的知識，它可以幫助人們從數量關系和相等關系的角度去認識和理解現實世界．

　　【例2】 (重慶中考題)某中學新建了一棟4層的教學大樓，每層樓有8間教室，進出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側門大小也相同．安全檢查中，對4道門進行了測試：當同時開啟一道正門和兩道側門時，2min內可以通過560名學生；當同時開啟一道正門和一道側門時，4mln內可以通過800名學生．

　　(1)求平均每分鐘一道正門和一道側門各可以通過多少名學生?

　　(2)檢查中發現，緊急情況時因學生擁擠，出門的效率降低20％．安全檢查規定：在緊急情況下全大樓的學生應在5min內通過這4道門安全撤離．假設這棟教學大樓每間教室最多有45名學生，問：建造的這4道門整否符合安全規定?請說明理由．

　　思路點撥列方程(組)的關鍵是找到題中等量關系：兩種測試中通過的學生數量．設未知數時一般問什么設什么．“符合安全規定”之義為最大通過量不小于學生總數．

　　(1)設平均每分鐘一道正門可以通過x名學生，一道側門可以通過y名學生，由題意得：

　　,解得：

　　(2)這棟樓最多有學生4×8×4 5=1440(名)．

　　擁擠時5min4道門能通過．

　　5×2(120+80)(1－20％)=1600(名),

　　因1600>1440，故建造的4道門符合安全規定．

　　三、用不等式模型解應用題

　　現實世界中的不等關系是普遍存在的，許多問題有時并不需要研究它們之間的相等關系，只需要確定某個量的變化范圍，即可對所研究的問題有比較清楚的認識．

　　【例3】 (蘇州中考題)我國東南沿海某地的風力資源豐富，一年內月平均的風速不小于3m／s的時間共約160天，其中日平均風速不小于6m／s的時間占60天．為了充分利用“風能”這種“綠色資源”，該地擬建一個小型風力發電場，決定選用A、B兩種型號的風力發電機，根據產品說明，這兩種風力發電機在各種風速下的日發電量(即一天的發電量)如下表：一天的發電量)如下表：

　　日平均風速v(米/秒)v<33≤v<6v≥6

　　日發電量 (千瓦?時)A型發電機O≥36≥150

　　B型發電機O≥24≥90

　　根據上面的數據回答：

　　(1)若這個發電場購x臺A型風力發電機，則預計這些A型風力發電機一年的發電總量至少為千瓦?時；

　　(2)已知A型風力發電機每臺O.3萬元，B型風力發電機每臺O.2萬元．該發電場擬購置風力發電機共10臺，希望購機的費用不超過2.6萬元，而建成的風力發電場每年的發電總量不少于102000千瓦?時，請你提供符合條件的購機方案．

　　根據上面的數據回答：

　　思路點撥 (1) (100×36+60×150)x=12600x；

　　(2)設購A型發電機x臺，則購B型發電機(10—x)臺,

　　解法一根據題意得：

　　解得5≤x ≤6．

　　故可購A型發電機5臺，B型發電機5臺；或購A型發電機6臺，B型發電視4臺．

　　四、用函數知識解決的應用題

　　函數類應用問題主要有以下兩種類型：(1)從實際問題出發，引進數學符號，建立函數關系；(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函數關系式．

　　【例4】 (揚州)楊嫂在再就業中心的扶持下，創辦了“潤楊”報刊零售點．對經營的某種晚報，楊嫂提供丁如下信息：

　　①買進每份0.20元，賣出每份0.30元；

　　②一個月內(以30天計)，有20天每天可以賣出200份，其余10天每天只能賣出120份；

　　③一個月內，每天從報社買進的報紙份數必須相同．當天賣不掉的報紙，以每份0.10元退回給報社；

　　(1)填表：

　　一個月內每天買進該種晚報的份數100150

　　當月利潤(單位：元)

　　(2)設每天從報社買進該種晚報x份，120≤x≤200時，月利潤為y元，試求出y與x的函數關系式，并求月利潤的最大值．

　　思路點撥(1)填表：

　　一個月內每天買進該種晚報的份數100150

　　當月利潤(單位：元)300390

　　(2)由題意可知，一個月內的20天可獲利潤：

　　20×=2x(元)；其余10天可獲利潤：

　　10=240—x(元)；

　　故y=x+240，(120≤x≤200)，當x=200時，月利潤y的最大值為440元．

　　注根據題意，正確列出函數關系式，是解決問題的關鍵，這里特別要注意自變量x的取值范圍．

　　另外，初三還會提及統計型應用題，幾何型應用題．

　　【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)內完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個工程隊合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成．

　　（1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數．

　　(2)如果請甲工程隊施工，公司每日需付費用200 0元；如果請乙工程隊施工，公司每日需付費用1400元．在規定時間內：A．請甲隊單獨完成此項工程；B．請乙隊單獨完成此項工程； C．請甲、乙兩隊合作完成此項工程．以上方案哪一種花錢最少?

　　思路點撥這是一道策略優選問題．工程問題中：工作量=工作效率×工時．

　　(1)設乙工程隊單獨完成此項工程需x天，根據題意得：

　　, x=30合題意，

　　所以，甲工程隊單獨完成此項工程需用20天，乙隊需30天．

　　(2)各種方案所需的費用分別為：

　　A．請甲隊需20xx×20=40000元；

　　B．請乙隊需1400×30=4200元；

　　C．請甲、乙兩隊合作需(20xx+1400)×12=40800元．

　　所隊單獨請甲隊完成此項工程花錢最少．

　　【例6】 (2全國聯賽初賽題)一支科學考察隊前往某條河流的上游去考察一個生態區，他們以每天17km的速度出發，沿河岸向上游行進若干天后到達目的地，然后在生態區考察了若干天，完成任務后以每天25km的速度返回，在出發后的第60天，考察隊行進了24km后回到出發點，試問：科學考察隊的生態區考察了多少天?

　　思路點撥挖掘題目中隱藏條件是關鍵!

　　設考察隊到生態區去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，則x+y+z=60，

　　17x－25y=－1，即25y－17x=1． ①

　　這里x、y是正整數，現設法求出①的.一組合題意的解，然后計算出z的值．

　　為此，先求出①的一組特殊解(x0，y0)，(這里x0，y0可以是負整數)．用輾轉相除法．

　　25=l ×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25．

　　與①的左端比較可知，x0 =－3，y0=－2．

　　下面再求出①的合題意的解．

　　由不定方程的知識可知，①的一切整數解可表示為x=－3+25t，y=－2+17t，

　　∴ x+y=42t－5，t為整數．按題意0

　　∴z=60—(x+y)=23．

　　答：考察隊在生態區考察的天數是23天．

　　注本題涉及到的未知量多，最終轉化為二元一次不定方程來解，希讀者仔細咀嚼所用方法．

　　【例7】 (江蘇省第17屆初中競賽題)華鑫超市對顧客實行優惠購物，規定如下：

　　(1)若一次購物少于200元，則不予優惠；

　　(2)若一次購物滿200元，但不超過500元，按標價給予九折優惠；

　　(3)若一次購物超過500元，其中500元部分給予九折優惠，超過500元部分給予八折優惠．

　　小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元．現在小亮決定一次去購買小明分兩次購買的同樣多的物品，他需付款多少?

　　思路點撥應付198元購物款討論：

　　第一次付款198元，可是所購物品的實價，未享受優惠；也可能是按九折優惠后所付的款．故應分兩種情況加以討論．

　　情形1 當198元為購物不打折付的錢時，所購物品的原價為198元．

　　又554=450+104，其中450元為購物500元打九折付的錢，104元為購物打八折付的錢；104÷0. 8 =130(元)．

　　因此，554元所購物品的原價為130+500=630(元)，于是購買小呀花198 +630=828(元)所購的全部物品，小亮一次性購買應付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）．

　　情形2 當198元為購物打九折付的錢時，所購物品的原價為198 ÷0.9=220(元) ．仿情形1的討論，，購220+630=850{元}物品一次性付款應為500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)．

　　綜上所述，小亮一次去超市購買小明已購的同樣多的物品，應付款712.40元或730元

　　【例8】 (20xx年全國數學競賽題)某項工程，如果由甲、乙兩隊承包，2 天完成，需180000元；由乙、丙兩隊承包，3 天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包，2 天完成，需付160000元．現在工程由一個隊單獨承包，在保證一周完成的前提下，哪個隊承包費用最少?

　　思路點撥關鍵問題是甲、乙、丙單獨做各需的天數及獨做時各方日付工資．分兩個層次考慮：

　　設甲、乙、丙單獨承包各需x、y、z天完成．

　　則，解得

　　再設甲、乙、丙單獨工作一天，各需付u、v、w元，

　　則，解得

　　于是，由甲隊單獨承包，費用是45500×4=182000 (元)．

　　由乙隊單獨承包，費用是29500×6= 177000 (元)．

　　而丙隊不能在一周內完成．所以由乙隊承包費用最少．

　　學歷訓練

　　（A級）

　　1．(河南)在防治“SARS”的戰役中，為防止疫情擴散，某制藥廠接到了生產240箱過氧乙酸消毒液的任務．在生產了60箱后，需要加快生產，每天比原來多生產15箱，結果6天就完成了任務．求加快速度后每天生產多少箱消毒液?

　　2．(山東省競賽題)某市為鼓勵節約用水，對自來水妁收費標準作如下規定：每月每戶用水中不超過10t部分按0.45元／噸收費；超過10t而不超過20t部分按每噸0.8元收費；超過20t部分按每噸1.50元收費，某月甲戶比乙戶多繳水費7.10元，乙戶比丙戶多繳水費3.75元，問甲、乙、丙該月各繳水費多少?(自來水按整噸收費)

　　3．(江蘇省競賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數學題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題．試問：難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題?

　　4．某人從A地到B地乘坐出租車有兩種方案，一種出租車收費標準是起步價10元，每千米1.2元；另一種出租車收費標準是起步價8元，每千米1.4元，問選擇哪一種出租車比較合適?

　　(提示：根據目前出租車管理條例，車型不同，起步價可以不同，但起步價的最大行駛里程是相同的，且此里程內只收起步價而不管其行駛里程是多少)

　　（B級）

　　1．(全國初中數學競賽題)江堤邊一洼地發生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺抽水機抽水，40min可抽完；如果用4臺抽水機抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水機臺．

　　2．(希望杯)有一批影碟機(VCD)原售價：800元／臺．甲商場用如下辦法促銷：

　　購買臺數1~5臺6~10臺11~15臺16~20臺20臺以上

　　每臺價格760元720元680元640元600元

　　乙商場用如下辦法促銷：每次購買1~8臺，每臺打九折；每次購買9~16臺，每臺打八五折；每次購買17~24臺，每臺打八折；每次購買24臺以上，每臺打七五折．

　　（1）請仿照甲商場的促銷列表，列出到乙商場購買VCD的購買臺數與每臺價格的對照表；

　　(2)現在有A、B、C三個單位，且單位要買10臺VCD，B單位要買16臺VCD，C單位要買20臺VCD，問他們到哪家商場購買花費較少?

　　3．(河北創新與知識應用競賽題)某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣．請你據此設計兌換方案．

　　4．從自動扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛)，如果男孩和女孩都做勻速運動且男孩每分鐘走動的級數是女孩的兩倍，已知男孩走了27級到達扶梯頂部，而女孩走了18級到達扶梯頂部(設男孩、女孩每次只踏—級)．問：

　　(1)扶梯露在外面的部分有多少級?

　　(2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯，樓梯的級數和扶梯的級數相等，兩孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時走了多少級臺階?

　　5．某化肥廠庫存三種不同的混合肥，第一種含磷60％，鉀40％，第二種含鉀10％，氮90％；第三種含鉀50％，磷20％，氮30％，現將三種肥混合成含氮45％的混合肥100?(每種肥都必須取)，試問在這三種不同混合肥的不同取量中，新混合肥含鉀的取值范圍．

　　6．(黃岡競賽題)有麥田5塊A、B、C、D、E，它們的產量，(單位：噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示，要建一座永久性打麥場，這5塊麥田生產的麥子都在此打場．問建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運輸量最小?圖中圓圈內的數字為產量，直線段上的字母a、b、d表示距離，且b < a

　　多邊形的邊角與對角線

　　j.Co M

　　第十四講多邊形的邊角與對角線

　　邊、角、對角線是多邊形中最基本的概念，求多邊形的邊數、內外角度數、對角線條數是解與多邊形相關的基本問題，常用到三角形內角和、多邊形內、外角和定理、不等式、方程等知識．

　　多邊形的內角和定理反映出一定的規律性：(n－2)×180°隨n的變化而變化；而多邊形的外角和定理反映出更本質的規律；360°是一個常數，把內角問題轉化為外角問題，以靜制動是解多邊形有關問題的常用技巧．

　　將多邊形問題轉化為三角形問題來處理是解多邊形問題的基本策略，連對角線或向外補形、對內分割是轉化的常用方法，從凸邊形的一個頂點引出的對角線把凸邊形分成個多角形，凸n邊形一共可引出對角線．

　　例題求解

　　【例1】在一個多邊形中，除了兩個內角外，其余內角之和為20xx°，則這個多邊形的邊數是．

　　(江蘇省競賽題)

　　思路點撥設除去的角為°，y°，多邊形的邊數為，可建立關于x、y的不定方程；又0°

　　鏈接世界上的萬事萬物是一個不斷地聚合和分裂的過程，點是幾何學最原始的概念，點生線、線生面、面生體，幾何元素的聚合不斷產生新的圖形，另一方面，不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形，發現新的幾何性質，多邊形可分成三角形，三角形可以合成其他

　　一些幾何圖形．

　　【例2】在凸10邊形的所有內角中，銳角的個數最多是( )

　　A．0 B．1 C．3 D．5

　　(全國初中數學競賽題)

　　思路點撥多邊形的內角和是隨著多邊形的邊數變化而變化的，而外角和卻總是不變的，因此，可把內角為銳角的個數討論轉化為外角為鈍角的個數的探討．

　　【例3】如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4，若將此三角形沿AD剪開成為兩個三角形，在平面上把這兩個三角形拼成一個四邊形，你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫出所拼四邊形的示意圖(標出圖中直角)，并分別寫出所拼四邊形的對角線的長．

　　(烏魯木齊市中考題)

　　思路點撥把動手操作與合情想象相結合，解題的關鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對角線有不同情形．

　　注教學建模是當今教學教育、考試改革最熱門的一個話題，簡單地說，“數學建模”就是通過數學化(引元、畫圖等)把實際問題特化為一個數學問題，再運用相應的數學知識方法(模型)解決問題．

　　本例通過設元，把“沒有重疊、沒有空隙”轉譯成等式，通過不定方程求解．

　　【例4】在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發現地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌)，這顯然與正多邊形的內角大小有關，當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角(360°)時，就拼成了一個平面圖形．

　　(1)請根據下列圖形，填寫表中空格：

　　(2)如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形?

　　(3)從正三角形、正四邊形，正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形(草圖)；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形?說明你的理由．

　　(陜西省中考題)

　　思路點撥本例主要研究兩個問題：①如果限用一種正多邊形鑲嵌，可選哪些正多邊形；②選用兩種正多邊形鑲嵌，既具有開放性，又具有探索性．假定正n邊形滿足鋪砌要求，那么在它的頂點接合的地方，n個內角的和為360°，這樣，將問題的討論轉化為求不定方程的正整數解．

　　【例5】如圖，五邊形ABCDE的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個單位，得到新的五邊形A'B'C'D'E'．

　　（1）圖中5塊陰影部分即四邊形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一個五邊形嗎?說明理由．

　　(2)證明五邊形A'B'C'D'E'的周長比五邊形ABCD正的周長至少增加25個單位．

　　(江蘇省競賽題)

　　思路點撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個五邊形須滿足條件：，A'GB'； B'PC'； C'ND'；D'LE'；E'IA'三點分別共線；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周長等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I，用圓的周長逼近估算．

　　1．如圖，用硬紙片剪一個長為16cm、寬為12cm的長方形，再沿對角線把它分成兩個三角形，用這兩個三角形可拼出各種三角形和四邊形來，其中周長最大的是 ?，周長最小的是 cm．

　　(選6《莢國中小學數學課程標準》)

　　2．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ．

　　3．如圖，ABCD是凸四邊形，AB=2，BC=4，CD=7，則線段AD的取值范圍是．

　　4．用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規律，拼成若干個圖案：

　　(1)第4個圖案中有白色地面磚塊；

　　(2)第n個圖案中有白色地面磚塊．

　　(江西省中考題)

　　5．凸n邊形中有且僅有兩個內角為鈍角，則n的最大值是( )

　　A．4 B．5 C． 6 D．7

　　( “希望杯”邀請賽試題)

　　6．一個凸多邊形的每一內角都等于140°，那么，從這個多邊形的一個頂點出發的對角線的條數是( )

　　A．9條 B．8條 C．7條 D． 6條

　　7．有一個邊長為4m的正六邊形客廳，用邊長為50cm的正三角形瓷磚鋪滿，則需要這種瓷磚( )

　　A．216塊 B．288塊 C．384塊 D．512塊

　　( “希望杯”邀請賽試題)

　　8．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，△ACD是一個含有30°角的直角三角形，現將△ABC和△ACD拼成一個凸四邊形ABCD．

　　（1）)畫出四邊形ABCD；

　　(2)求出四邊形ABCD的對角線BD的長．

　　(上海市閔行區中考題)

　　9．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC=90°，∠BCD＝150°，求∠BAD的度數．

　　(北京市競賽題)

　　10．如圖，在五邊形A1A2A3A4A5中，Bl是A1的對邊A3A4的中點，連結A1B1，我們稱A1B1是這個五邊形的一條中對線，如果五邊形的每條中對線都將五邊形的面積分成相等的兩部分，求證：五邊形的每條邊都有一條對角線和它平行．

　　(安徽省中考題)

　　11．如圖，凸四邊形有個；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ．

　　(重慶市競賽題)

　　12．如圖，延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它們的和等于；若延長凸n邊形(n≥5)的各邊相交，則得到的n個角的和等于．

　　( “希望杯”邀請賽試題)

　　13．設有一個邊長為1的正三角形，記作A1(圖a)，將每條邊三等分，在中間的線段上向外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A 2(圖b)，再將每條邊三等分，并重復上述過程，所得到的圖形記作A3(圖c)；再將每條邊三等分，并重復上述過程，所得到的圖形記作A4，那么，A4的周長是；A4這個多邊形的面積是原三角形面積的倍．

　　(全國初中數學聯賽題)

　　14．如圖，六邊形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，FA—CD=3，則BC+DC= ． (北京市競賽題)

　　15．在一個n邊形中，除了一個內角外，其余(n一1)個內角的和為2750°，則這個內角的度數為( )

　　A．130° D．140° C ．105° D．120°

　　16．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=2 ，AC=6，AD=3，則CD的長為( )

　　A．4 B．4 C．3 D． 3 (江蘇省競賽題)

　　注按題中的方法'不斷地做下去，就會成為下圖那樣的圖形，它的邊界有一個美麗的名稱——雪花曲線或科克曲線(瑞典數學家)，這類圖形稱為“分形”，大量的物理、生物與數學現象都導致分形，分形是新興學科“混沌”的重要分支．

　　17．如圖，設∠CGE=α，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( )

　　A．360°一α B．270°一αC．180°+α D．2α

　　(山東省競賽題)

　　18．平面上有A、B，C、D四點，其中任何三點都不在一直線上，求證：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個三角形的內角不超過45°．

　　19．一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果用較小的相同正方形地磚，那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知n及地磚的邊長都是整數，求n． (上海市競賽題)

　　20．如圖，凸八邊形ABCDEFGH的8 個內角都相等，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長分別為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長．

　　21．如圖l是一張可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開后支撐起來放在地面上的情況，如果折疊起來，床頭部分被折到了床面之下(這里的A、B、C、D各點都是活動的)，活動床頭是根據三角形的穩定性和四邊形的不穩定性設計而成的，其折疊過程可由圖2的變換反映出來．

　　如果已知四邊形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多長時，才能實現上述的折疊變化?

　　(淄博市中考題)

　　22．一個凸n邊形由若干個邊長為1的正方形或正三角形無重疊、無間隙地拼成，求此凸n邊形各個內角的大小，并畫出這樣的凸n邊形的草圖．

　　圖形的平移與旋轉

　　前蘇聯數學家亞格龍將幾何學定義為：幾何學是研究幾何圖形在運動中不變的那些性質的學科．

　　幾何變換是指把一個幾何圖形Fl變換成另一個幾何圖形F2的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、旋轉是常見的合同變換．

　　如圖1，若把平面圖形Fl上的各點按一定方向移動一定距離得到圖形F2后，則由的變換叫平移變換．

　　平移前后的圖形全等，對應線段平行且相等，對應角相等．

　　如圖2，若把平面圖Fl繞一定點旋轉一個角度得到圖形F2，則由Fl到F2的變換叫旋轉變換，其中定點叫旋轉中心，定角叫旋轉角．

　　旋轉前后的圖形全等，對應線段相等，對應角相等，對應點到旋轉中心的距離相等．

　　通過平移或旋轉，把部分圖形搬到新的位置，使問題的條件相對集中，從而使條件與待求結論之間的關系明朗化，促使問題的解決．

　　注合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換．等積變換，只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換，只保留線段間的比例關系，而線段本身的大小要改變．

　　例題求解

　　【例1】如圖，P為正方形ABCD內一點，PA：PB：PC＝1：2：3，則∠APD= ．

　　思路點撥通過旋轉，把PA、PB、PC或關聯的線段集中到同一個三角形．

　　【例2】如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點M，N，使∠MCN=45°，記AM＝m，MN= x，DN=n，則以線段x、m、n為邊長的三角形的形狀是( )

　　A．銳角三角形 B．直角三角形

　　C．鈍角三角形 D．隨x、m、n的變化而改變

　　思路點撥把△ACN繞C點順時針旋轉45°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個與∠MCN相等的角，在一條直線上的m、 x、n 集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可．

　　注下列情形，常實施旋轉變換：

　　(1)圖形中出現等邊三角形或正方形，把旋轉角分別定為60°、90°；

　　(2)圖形中有線段的中點，將圖形繞中點旋轉180°，構造中心對稱全等三角形；

　　(3)圖形中出現有公共端點的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點，旋轉兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合．

　　【例3】如圖，六邊形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，對邊之差BC－EF＝ED?AB＝AF?CD>0，求證：該六邊形的各角相等．

　　(全俄數學奧林匹克競賽題)

　　思路點撥設法將復雜的條件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一個基本圖形表示，題設中有平行條件，可考慮實施平移變換．

　　注平移變換常與平行線相關，往往要用到平行四邊形的性質，平移變換可將角，線段移到適當的位置，使分散的條件相對集中，促使問題的解決．

　　【例4】如圖，在等腰△ABC的兩腰AB、AC上分別取點E和F，使AE=CF．已知BC=2，求證：EF≥1． (西安市競賽題)

　　思路點撥本例實際上就是證明2EF≥BC，不便直接證明，通過平移把BC與EF集中到同一個三角形中．

　　注三角形中的不等關系，涉及到以下基本知識：

　　(1)兩點間線段最短，垂線段最短；

　　(2)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

　　(3)同一個三角形中大邊對大角(大角對大邊)，三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．

　　【例5】如圖，等邊△ABC的邊長為，點P是△ABC內的一點，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的長． (“希望杯”邀請賽試題)

　　思路點撥題設條件滿足勾股關系PA2+PB2＝PC2的三邊PA、PB、PC不構成三角形，不能直接應用，通過旋轉變換使其集中到一個三角形中，這是解本例的關鍵．

　　學歷訓練

　　1．如圖，P是正方形ABCD內一點，現將△ABP繞點B顧時針方向旋轉能與△CBP′重合，若PB=3，則PP′= ．

　　2．如圖，P是等邊△ABC內一點，PA＝6，PB=8，PC＝10，則∠APB ．

　　3．如圖，四邊形ABC D中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，則CD的長為．

　　4．如圖，把△ABC沿AB邊平移到△A'B'C'的位置，它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半，若AB= ，則此三角形移動的距離AA'是( )

　　A． B． C．l D． (20xx年荊州市中考題)

　　5．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點C、F，給出以下四個結論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF= S△ABC；④EF=AP．

　　當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時(點E不與A、B重合)，上述結論中始終正確的有( )

　　A．1個 B．2個 C ．3個 D．4個

　　(20xx年江蘇省蘇州市中考題)

　　6．如圖，在四邊形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四邊形ABCD d=8，則BE的長為( )

　　A．2 B．3 C ． D． (20xx年武漢市選拔賽試題)

　　7．如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為和，對角線BD、FH都在直線上，O1、O2分別為正方形的中心，線段O1O2的長叫做兩個正方形的中心距，當中心O2在直線上平移時，正方形EFGH也隨之平移，在平移時正方形EFGH的形狀、大小沒有變化．

　　(1)計算：O1D= ，O2F= ；

　　(2)當中心O2在直線上平移到兩個正方形只有一個公共點時，中心距O1O2= ；

　　(3)隨著中心O2在直線上平移，兩個正方形的公共點的個數還有哪些變化?并求出相對應的中心距的值或取值范圍(不必寫出計算過程)． (徐州市中考題)

　　8．圖形的操做過程（本題中四個矩形的水平方向的邊長均為a，豎直方向的邊長均為b）：

　　在圖a中，將線段A1A2向右平移1個單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2（即陰影部分）；

　　在圖b中，將折線A1A2A3向右平移1個單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3（即陰影部分）；

　　（1）在圖c中,請你類似地畫一條有兩個折點的折線,同樣向右平移1個單位,從而得到一個封閉圖形,并用斜線畫出陰影；

　　（2）請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：S1= ，,S2= ，S3= ；

　　（3）聯想與探索：

　　如圖d，在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個單位），請你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說明你的猜想是正確的．

　　(20xx年河北省中考題)

　　9．如圖，已知點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，求證：AN＝BM．

　　說明及要求：本題是《幾何》第二冊幾15中第13題，現要求：

　　(1)將△ACM繞C點按逆時針方向旋轉180°，使A點落在CB上，請對照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形(不寫作法，保留作圖痕跡)．

　　(2)在①所得的圖形中，結論“AN＝BM”是否還成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

　　(3)在①得到的圖形中，設MA的延長線與BN相交于D點，請你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀，并證明你的結論．

　　10．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜邊BC上距離B點3cm的點P為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉90°至△DEF，則旋轉前后兩個直角三角形重疊部分的面積是 cm2．

　　11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，點E在DC上，AE、BC的延長線交于點F，若AE=10，則S△ADE+S△CEF的值是．

　　(紹興市中考題)

　　12．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內一點，則PA+PB+PC與AB+AC的大小關系是( )

　　A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PCC． PA+PB+PC＝AB+AC D．無法確定

　　13．如圖，設P到等邊三角形ABC兩頂點A、B的距離分別為2、3，則PC所能達到的最大值為( )

　　A． B． C ．5 D．6

　　(20xx年武漢市選拔賽試題)

　　14．如圖，已知△ABC中，AB=AC，D為AB上一點，E為AC 延長線上一點，BD=CE，連DE，求證：DE>DC．

　　15．如圖，P為等邊△ABC內一點，PA、PB、PC的長為正整數，且PA2+PB2=PC2，設PA=m，n為大于5的實數，滿，求△ABC的面積．

　　16．如圖，五羊大學建立分校，校本部與分校隔著兩條平行的小河， ∥ 表示小河甲， ∥ 表示小河乙，A為校本部大門，B為分校大門，為方便人員來往，要在兩條小河上各建一座橋，橋面垂直于河岸．圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河垂直距離為40米，B到乙河垂直距離為20米，兩河距離100米，A、B兩點水平距離(與小河平行方向)120米，為使A、B兩點間來往路程最短，兩座橋都按這個目標而建，那么，此時A、D兩點間來往的路程是多少米? (“五羊杯”競賽題)

　　17．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC內一點，點O到△ABC各邊的距離都等于1，將△ABC繞點O順時針旋轉45°，得△A1BlC1 ，兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ．

　　(1)證明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形；

　　(2)求△ABC與△A1BlC1公共部分的面積． (山東省競賽題)

　　18．(1)操作與證明：如圖1，O是邊長為a的正方形ACBD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點處，并將紙板繞O點旋轉，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值．

　　(2)嘗試與思考：如圖2，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正三角形或正五邊形的中心O點處，并將紙板繞O點旋轉，當扇形紙板的圓心角為時，正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a；當扇形紙板的圓心角為時，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度也為定值a．

　　(3)探究與引申：一般地，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中心O點處，并將紙板繞O點旋轉．當扇形紙板的圓心角為時，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a；這時正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值?若為定值，寫出它與正n邊形面積S之間的關系；若不是定值，請說明理由．

平行四邊形教案篇6

　　一、教材分析

　　1．教材的地位與作用

　　平行四邊形是最基本的幾何圖形，也是 “空間與圖形”領域中研究的主要對象之一．它在生活中有著十分廣泛的應用，這不僅表現在日常生活中有許多平行四邊形的圖案，還包括其性質在生產、生活各領域的實際應用．

　　本節課既是平行線的性質、全等三角形等知識的延續和深化，也是后續學習矩形、菱形、正方形等知識的堅實基礎，在教材中起著承上啟下的作用．平行四邊形的性質還為證明兩條線段相等、兩角相等、兩直線平行提供了新的方法和依據，拓寬了學生的解題思路．

　　另外本節課是在學生掌握了平移、旋轉知識的基礎上探究平行四邊形的性質，能使學生經歷觀察、實驗、猜想、驗證、推理、交流等數學活動，對于培養學生的合情推理能力、發散思維能力以及探索、體驗數學思維規律等方面起著重要的作用．

　　2．教學目標：

　　知識技能：理解并掌握平行四邊形的相關概念和性質，培養學生初步應用這些知識解決問題的能力．

　　數學思考：通過觀察、實驗、猜想、驗證、推理、交流等數學活動進一步發展學生的演繹推理能力和發散思維能力．

　　解決問題：學生親自經歷探索平行四邊形有關概念和性質的過程，體會解決問題策略的多樣性．

　　情感態度：培養學生獨立思考的習慣與合作交流的意識，激發學生探索數學的興趣，體驗探索成功后的快樂．

　　3．教學重點、難點：

　　重點：理解并掌握平行四邊形的概念及其性質．

　　難點：運用平移、旋轉的圖形變換思想探究平行四邊形的性質．

　　4．教材處理：

　　基于“創造性地使用教材”和“真正地以學生為本”的教學理念，我將教材內容進行合理內化、整合．

　　首先，打破了原教材的知識結構，構建成一個新的教學體系，分為探索平行四邊形的性質和平行四邊形性質的`應用這樣兩部分，本節課是探索平行四邊形的性質．這樣安排能很好地體現知識結構的完整性和系統性．

　　然后，將教材中平行四邊形性質的探究活動完全開放，給學生充分探索的時間與空間，動手實驗，動腦思考．力圖構建學生主動探索、獲取知識的平臺，使學生真正成為實踐的探索者、知識的構建者、愉快的收獲者．

　　最后，把一道命題證明的練習題改編成實驗操作型問題．學生利用課前準備好的教具制作成模型，讓圖形動起來．這樣設計有利于學生在圖形運動變化的過程中去發現其中不變的關系，從而發現圖形的性質．

　　總之，教材處理力求在深挖概念內涵；拓展性質外延；深化練習效用的過程中達到培養學生創新意識和實踐能力的教學目的．

　　二．教學方法與手段

　　本節課在教法上體現教師的“啟發引導”，幫助學生實現認識上與態度上的跨越；在學法上突出學生的“探索發現”，在教學過程中立足于讓學生自己去觀察、去發現、去創造．利用多媒體、自制教具輔助教學，增強教學的直觀性、實效性．

平行四邊形教案篇7

　　一、實驗目的

　　驗證互成角度的兩個力合成時的平行四邊形定則．

　　二、實驗原理

　　如果使F1、F2的共同作用效果與另一個力F′的作用效果相同(橡皮條在某一方向伸長一定的長度)，那么根據F1、F2用平行四邊形定則求出的合力F，應與F′在實驗誤差允許范圍內大小相等、方向相同．

　　實驗器材

　　方木板一塊、白紙、彈簧測力計(兩只)、橡皮條、細繩套(兩個)、三角板、刻度尺、圖釘(幾個)、細芯鉛筆．

　　三、實驗步驟

　　（一）、儀器的安裝

　　1．用圖釘把白紙釘在水平桌面上的方木板上．并用圖釘把橡皮條的一端固定在A點，橡皮條的另一端拴上兩個細繩套．

　　（二）、操作與記錄

　　2. 用兩只彈簧測力計分別鉤住細繩套，互成角度地拉橡皮條，使橡皮條伸長到某一位置O，如圖所示，記錄兩彈簧測力計的讀數，用鉛筆描下O點的位置及此時兩細繩套的方向．

　　3．只用一只彈簧測力計通過細繩套把橡皮條的結點拉到同樣的位置O，記下彈簧測力計的讀數和細繩套的方向．

　　(三)、作圖及分析

　　4．改變兩個力F1與F2的大小和夾角，再重復實驗兩次．

　　5．用鉛筆和刻度尺從結點O沿兩條細繩套方向畫直線，按選定的標度作出這兩只彈簧測力計的讀數F1和F2的圖示，并以F1和F2為鄰邊用刻度尺作平行四邊形，過O點畫平行四邊形的對角線，此對角線即為合力F的圖示．

　　6．用刻度尺從O點按同樣的標度沿記錄的方向作出這只彈簧測力計的拉力F′的圖示．

　　7．比較一下，力F′與用平行四邊形定則求出的合力F在誤差范圍內大小和方向上是否相同．

　　四、注意事項

　　1．位置不變：在同一次實驗中，使橡皮條拉長時結點的位置一定要相同．

　　2．角度合適：用兩個彈簧測力計鉤住細繩套互成角度地拉橡皮條時，其夾角不宜太小，也不宜太大，以60°～100°之間為宜．

　　3．盡量減少誤差

　　(1)在合力不超出量程及在橡皮條彈性限度內的前提下，測量數據應盡量大一些．

　　(2)細繩套應適當長一些，便于確定力的方向．不要直接沿細繩套方向畫直線，應在細繩套兩端畫個投影點，去掉細繩套后，連直線確定力的方向．

　　4．統一標度：在同一次實驗中，畫力的圖示選定的標度要相同，并且要恰當選定標度，使力的圖示稍大一些．

　　五、誤差分析

　　本實驗的誤差除彈簧測力計本身的誤差外，還主要來源于以下兩個方面：

　　1．讀數誤差

　　減小讀數誤差的方法：彈簧測力計數據在允許的'情況下，盡量大一些．讀數時眼睛一定要正視，要按有效數字正確讀數和記錄．

　　2．作圖誤差

　　減小作圖誤差的方法：作圖時兩力的對邊一定要平行，兩個分力F1、F2間的夾角越大，用平行四邊形作出的合力F的誤差ΔF就越大，所以實驗中不要把F1、F2間的夾角取得太大。

　　例1、對實驗原理誤差分析及讀數能力的考查：(1)某實驗小組在探究合力的方法時，先將橡皮條的一端固定在水平木板上，另一端系上帶有繩套的兩根細繩．實驗時，需要兩次拉伸橡皮條，一次是通過兩細繩用兩個彈簧秤互成角度地拉橡皮條，另一次是用一個彈簧秤通過細繩拉橡皮條．實驗對兩次拉伸橡皮條的要求中，下列哪些說法是正確的_BD_______．(填字母代號)

　　A．將橡皮條拉伸相同長度即可

　　B．將橡皮條沿相同方向拉到相同長度

　　C．將彈簧秤都拉伸到相同刻度

　　D．將橡皮條和細繩的結點拉到相同位置

　　(2)同學們在操作過程中有如下議論，其中對減小實驗誤差有益的說法是__AD______．(填字母代號)

　　A．彈簧秤、細繩、橡皮條都應與木板平行

　　B．兩細繩之間的夾角越大越好

　　C．用兩彈簧秤同時拉細繩時兩彈簧秤示數之差應盡可能大

　　D．拉橡皮條的細繩要長些，標記同一細繩方向的兩點要遠些

　　(3)彈簧測力計的指針如圖所示，由圖可知拉力的大小為__4.00____N.

　　例2對實驗操作過程的考察：某同學在家中嘗試驗證平行四邊形定則，他找到三條相同的橡皮筋(遵循胡克定律)和若干小重物，以及刻度尺、三角板、鉛筆、細繩、白紙、釘子，設計了如下實驗：將兩條橡皮筋的一端分別掛在墻上的兩個釘子A、B上，另一端與第三條橡皮筋連接，結點為O，將第三條橡皮筋的另一端通過細繩掛一重物，如圖所示

　　(1)為完成該實驗，下述操作中必需的是___bcd _____．

　　a．測量細繩的長度

　　b．測量橡皮筋的原長

　　c．測量懸掛重物后橡皮筋的長度

　　d．記錄懸掛重物后結點O的位置

　　(2)釘子位置固定，欲利用現有器材，改變條件再次驗證，可采用的方法是________改變重物質量______．

　　例3:有同學利用如圖2－3－4所示的裝置來驗證力的平行四邊形定則：在豎直木板上鋪有白紙，固定兩個光滑的滑輪A和B，將繩子打一個結點O，每個鉤碼的重量相等，當系統達到平衡時，根據鉤碼個數讀出三根繩子的拉力F1、F2和F3，回答下列問題：

　　(1)改變鉤碼個數，實驗能完成的是 (BCD )

　　A．鉤碼的個數N1＝N2＝2，N3＝4

　　B．鉤碼的個數N1＝N3＝3，N2＝4

　　C．鉤碼的個數N1＝N2＝N3＝4

　　D．鉤碼的個數N1＝3，N2＝4，N3＝5

　　(2)在拆下鉤碼和繩子前，最重要的一個步驟是 ( A )

　　A．標記結點O的位置，并記錄OA、OB、OC三段繩子的方向

　　B．量出OA、OB、OC三段繩子的長度

　　C．用量角器量出三段繩子之間的夾角

　　D．用天平測出鉤碼的質量

　　(3)在作圖時，你認為圖中____甲____是正確的．(填“甲”或“乙”)

　　當堂反饋：

　　1、“驗證力的平行四邊形定則”的實驗情況如圖甲所示，其中A為固定橡皮筋的圖釘，O為橡皮筋與細繩的結點，OB和OC為細繩．圖乙是在白紙上根據實驗結果畫出的圖．

　　(1)如果沒有操作失誤，圖乙中的F與F′兩力中，方向一定沿AO方向的是___ F′_____．

　　(2)本實驗采用的科學方法是__B______．

　　A．理想實驗法 B．等效替代法 C．控制變量法 D．建立物理模型法

　　2、某同學做“驗證力的平行四邊形定則”實驗時，主要步驟是：

　　A．在桌上放一塊方木板，在方木板上鋪一張白紙，用圖釘把白紙釘在方木板上；

　　B．用圖釘把橡皮條的一端固定在板上的A點，在橡皮條的另一端拴上兩條細繩，細繩的另一端系著繩套；

　　C．用兩個彈簧測力計分別鉤住繩套，互成角度地拉橡皮條，使橡皮條伸長，結點到達某一位置O.記錄下O點的位置，讀出兩個彈簧測力計的示數；

　　D．按選好的標度，用鉛筆和刻度尺作出兩只彈簧測力計的拉力F1和F2的圖示，并用平行四邊形定則求出合力F；

　　E．只用一只彈簧測力計，通過細繩套拉橡皮條使其伸長，讀出彈簧測力計的示數，記下細繩的方向，按同一標度作出這個力F′的圖示；

　　F．比較F′和F的大小和方向，看它們是否相同，得出結論．

　　上述步驟中：(1)有重要遺漏的步驟的序號是__C______和____E____；

　　(2)遺漏的內容分別是________________________________________________________________________

平行四邊形教案篇8

　　教學目標：

　　1.經歷探索平行四邊形有關概念和性質的過程，在活動中發展學生的探究意識和合作交流的習慣;

　　2.索并掌握平行四邊形的性質，并能簡單應用;

　　3.在探索活動過程中發展學生的探究意識。

　　教學重點：平行四邊形性質的探索。

　　教學難點：平行四邊形性質的理解。

　　教學準備：多媒體課件

　　教學過程

　　第一環節：實踐探索，直觀感知(5分鐘，動手實踐、探索、感知，學生進一步探索了平行四邊形的概念，明確了平行四邊形的本質特征。)

　　1.小組活動一

　　內容：

　　問題1：同學們拿出準備好的剪刀、彩紙或白紙一張。將一張紙對折，剪下兩張疊放的三角形紙片，將它們相等的一邊重合，得到一個四邊形。

　　(1)你拼出了怎樣的四邊形?與同桌交流一下;

　　(2)給出小明拼出的四邊形，它們的對邊有怎樣的位置關系?說說你的`理由，請用簡捷的語言刻畫這個圖形的特征。

　　2.小組活動二

　　內容：生活中常見到平行四邊形的實例有什么呢?你能舉例說明嗎?

　　第二環節探索歸納、合作交流(5分鐘，學生動手、動嘴，全班交流)

　　小組活動3：

　　用一張半透明的紙復制你剛才畫的平行四邊形，并將復制后的四邊形繞一個頂點旋轉180°，你能平移該紙片，使它與你畫的平行四邊形重合嗎?由此你能得到哪些結論?四邊形的對邊、對角分別有什么關系?能用別的方法驗證你的結論嗎?

　　(1)讓學生動手操作、復制、旋轉、觀察、分析;

　　(2)學生交流、議論;

　　(3)教師利用多媒體展示實踐的過程。

　　第三環節推理論證、感悟升華(10分鐘，學生通過說理，由直觀感受上升到理性分析，在操作層面感知的基礎上提升，并了解圖形具有的數學本質。)

　　實踐探索內容

　　(1)通過剪紙，拼紙片，及旋轉，可以觀察到平行四邊行的對角線把它分成的兩個三角形全等。

　　(2)可以通過推理來證明這個結論，如圖連結AC。

　　∵四邊形ABCD是平行四邊形

　　∴AD//BC，AB//CD

　　∴∠1=∠2，∠3=∠4

　　∴△ABC和△CDA中

　　∠2=∠1

　　AC=CA

　　∠3=∠4

　　∴△ABC≌△CDA(ASA)

　　∴AB=DC，AD=CB，∠D=∠B

　　又∵∠1=∠2

　　∠3=∠4

　　∴∠1+∠3=∠2+∠4

　　即∠BAD=∠DCB

　　第四環節應用鞏固深化提高(10分鐘，通過議一議，練一練，學生進一步理解平行四邊形的性質，并進行簡單合情推理，體現性質的應用，同時從不同角度平移、旋轉等再一次認識平行四邊形的本質特征。)

　　1.活動內容：

　　(1)議一議：如果已知平行四邊形的一個內角度數，能確定其它三個內角的度數嗎?

　　A(學生思考、議論)

　　B總結歸納：可以確定其它三個內角的度數。

　　由平行四邊形對邊分邊平行得到鄰角互補;又由于平行四邊形對角相等，由此已知平行四邊形的一個內角的度數，可以確定其它三個角度數。

　　(2)練一練(P99隨堂練習)

　　練1如圖：四邊形ABCD是平行四邊形。

　　(1)求∠ADC、∠BCD度數

　　(2)邊AB、BC的度數、長度。

　　練2四邊形ABCD是平行四邊形

　　(1)它的四條邊中哪些線段可以通過平移相到得到?

　　(2)設對角線AC、BD交于O;AO與OC、BO與OD有何關系?說說理由。

　　歸納：平行四邊形的性質：平行四邊形的對角線互相平分。

　　第五環節評價反思概括總結(8分鐘，學生踴躍談感受和收獲)

　　活動內容

　　師生相互交流、反思、總結。

　　(1)經歷了對平行四邊形的特征探索，你有什么感受和收獲?給自己一個評價。

　　(2)在與同伴合作交流中練表現，優秀方面有哪些?你看到同伴哪些優點?

　　(3)本節學習到了什么?(知識上、方法上)

　　考一考：

　　1.ABCD中，∠B=60°，則∠A=，∠C=，∠D=。

　　2.ABCD中，∠A比∠B大20°，則∠C=。

　　3.ABCD中，AB=3，BC=5，則AD=CD=。

　　4.ABCD中，周長為40cm，△ABC周長為25，則對角線AC=()cm。

　　布置作業

　　課本習題4.1

　　A組(學優生)1、2

　　B組(中等生)1、2

　　C組(后三分之一生)1、2

平行四邊形教案篇9

　　教材分析

　　本節課既是七年級平行線的性質、全等三角形等知識的延續和深化，也是后續學習矩形、菱形、正方形等知識的堅實基礎。本節課是在學生掌握了平移等知識的基礎上探究平行四邊形的性質，能使學生經歷觀察、實驗、猜想、驗證、推理、交流等數學活動，對于培養學生的推理能力、發散思維能力以及探索、體驗數學思維規律等方面起著重要的作用。

　　學情分析

　　八年級學生有一定的自學、探索能力，求知欲強。并且，學生在小學里已經初步學習過平行四邊形，對平行四邊形有直觀的感知和認識。在掌握平行線和相交線有關幾何事實的過程中，學生已經初步經歷過觀察、操作等活動過程，獲得了一定的探索圖形性質的活動經驗；同時，在學習數學的過程中也經歷了很多合作過程，具有了一定的學習經驗，具備了一定的合作和交流能力。借助于遠教資源的優勢，能使腦、手充分動起來，學生間相互探討，積極性也被充分調動起來。在此基礎上學習平行四邊形的性質，可以比較自然地得出平行四邊形的性質。

　　教學目標

　　㈠、知識與技能：

　　1、理解并掌握平行四邊形的定義；

　　2、掌握平行四邊形的性質定理；

　　3、理解兩條平行線的距離的.概念；

　　4、培養學生綜合運用知識的能力；

　　㈡、過程與方法：經歷探索平行四邊形的有關概念和性質的過程，發展學生的探究意識和合情推理的能力。

　　㈢、情感態度與價值觀：培養學生嚴謹的思維和勇于探索的思想意識，體會幾何知識的內涵與實際應用價值。

　　教學重點和難點

　　重點：平行四邊形的定義，平行四邊形對角、對邊相等的性質以及性質的應用。

　　難點：運用平行四邊形的性質進行有關的論證和計算。

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